SL-Wiskunde 4e klas Vwo oefenen

Uitdaging

Een kwadratische vergelijking kun je ook omschrijven door kwadraat af te splitsen. Dit kan je helpen bij het vinden van de top van de parabool of om de vergelijking op te lossen. Bij het kwadraatafsplitsen herleid je een twee- of drieterm tot een kwadraat. Het lijkt in eerste instantie bijna alsof je de formule alleen maar lastiger maakt, maar door het kwadraat af te splitsen krijg je uiteindelijk een som waar maar één x in staat zodat je deze gemakkelijker kunt oplossen.

In deze theorie leggen we je uit hoe dit werkt.

Methode

Kwadraatafsplitsen betekent dus eigenlijk dat je een kwadratische formule als een kwadraat schrijft. Je houdt dan één x binnen haakjes over.

 

Kwadraatafsplitsen bij een tweeterm

Kwadraatafsplitsen bij een tweeterm leidt tot een formule die eruit ziet als:

(x + p)² - q. De + en de - in de formule kan veranderen.

Een tweeterm is een formule in de vorm x² + bx. Je wilt dus van x² + bx naar (x + p)² - q.

Dit doe je met behulp van deze formule:

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

Dat deze formule klopt, kunnen we laten zien door terug te rekenen:

$$ \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

$$ \left(x + \frac{b}{2}\right)\left(x + \frac{b}{2}\right) - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

$$ x^2 + 2 · \frac{bx}{2} + \left(\frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

$$x^2 + bx$$

Voorbeeld.

Stel je hebt de tweeterm x² + 12x en je wordt gevraagd om kwadraat af te splitsen.

$$x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2$$

$$x^2 + 12x = \left(x + \frac{12}{2}\right)^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2 = \left(x + 6\right)^2 - 36$$

 

Kwadraatafsplitsen bij een drieterm

Bij het afsplitsen van een kwadraat bij een drieterm breng je de x tussen haakjes waardoor je uiteindelijk ook een formule krijgt die er als volgt uitziet. (x + p)² - q. De + en de - in de formule kan veranderen.

Het verschil tussen kwadraatafsplitsen bij een tweeterm en een drieterm is dat er bij een drieterm nog een c is. Bij kwadraatafsplitsen bij een drieterm is dan ook het enige extra stapje dat erbij komt, het optellen/aftrekken van de c.

$$x^2 + bx + c = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c $$

Neem bijvoorbeeld x² + 12x + 4. $$x^2 + 12x + 4 = \left(x + \frac{12}{2}\right)^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2 + 4 = (x + 6)^2 - 36 + 4 = (x + 6)^2 - 32$$