Getal & Ruimte 10, 3 Havo oefenen

Uitdaging

In hoofdstukken over gelijkvormige driehoeken komen we vaak snavelfiguren en zandloperfiguren tegen.

In deze theorie leggen we je uit wat snavel- en zandloperfiguren zijn en wat deze figuren te maken hebben met gelijkvormigheid in driehoeken.

Methode

Een snavelfiguur is een driehoek in een driehoek. Het heet zo omdat het een beetje lijkt op een snavel.

Kijk naar de afbeelding van het snavelfiguur. De kleine driehoek ADE, zit in de grote driehoek ABC. Zijde DE en BC zijn evenwijdig aan elkaar. Driehoek ADE is daarom een verkleining van de driehoek ABC.

Doordat de 2 driehoeken gelijkvormig zijn, weet je dat de zijden van de driehoeken proportioneel aan elkaar zijn. In deze tabel kun je zien welke zijde overeenkomen met elkaar in de figuur. De zijden van driehoek ABC staan hier boven in de tabel, en de zijden van driehoek ADE die hier bij horen staan onder.

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} AB & BC & AC \T \\\hline AD & DE & AE \end{array}$$

Bij een zandloper figuur is de ene driehoek ook een verkleining van de ander. Het figuur ziet eruit als een zandloper.

Kijk naar de afbeelding van het zandloperfiguur. Driehoek MNO is een verkleining van driehoek KLM. De driehoeken zitten echter niet in elkaar. Wat ook anders is, is dat de driehoeken gedraaid zijn ten opzichte van elkaar. Belangrijk is dat zijde NO en KL evenwijdig lopen.

De driehoeken in een zandloperfiguur zijn proportioneel aan elkaar. In deze tabel zie je welke zijden er in de afbeelding proportioneel aan elkaar zijn. De zijden van driehoek KLM staan hier boven in de tabel, en de zijden van driehoek MNO die hier bij horen staan onder.

$$\newcommand\T{\Rule{0pt}{1em}{.3em}} \begin{array}{c|c|c|c} KL & LM & KM \T \\\hline NO & MO & MN\end{array}$$

Met deze eigenschappen kun je zijden berekenen door gebruik te maken van kruisproducten. Bij gelijkvormige driehoeken is de deelsom van overeenkomstige zijden altijd hetzelfde getal. Dit kun je gebruiken om een zijde in een snavelfiguur of een zandloperfiguur te berekenen. Hieronder 2 voorbeelden.

Je wordt gevraagd de lengte van de zijde BC te berekenen uit het snavelfiguur. Gebruik de bijbehorende tabel om de lengte van BC te vinden.

$$ BC = \frac{AC · DE}{AE} = \frac{8 · 4}{6}=5,3 $$

Je wordt gevraagd de lengte van de zijde LM te berekenen uit het zandloperfiguur. Gebruik de bijbehorende tabel om de lengte van LM te vinden. $$ LM = \frac{MO · KL}{ON} = \frac{4 · 30}{15}=8 $$

Je moet dus steeds naar een deel van de tabel kijken. Het is hierbij belangrijk dat de zijde gegeven is die boven/onder de gevraagde zijde in de tabel staat, anders kun je nooit de gevraagde zijde vinden.

Als je de tabel anders opstelt, bijvoorbeeld dat je de zijden van ABC onder de zijden van ADE staan, komt de berekening nog steeds goed uit. Het enige wat belangrijk is, is dat zijden van dezelfde driehoek naast elkaar in de tabel staan en dat zijden die proportioneel aan elkaar zijn onder elkaar staan in de tabel.