Getal & Ruimte 2008, 3 Vwo oefenen

Uitdaging

De top van de parabool met de formule y = a(x - p)² + q heeft de coördinaten (p,q).

Als de formule nog niet in deze vorm staat, kun je deze vaak zo herschrijven dat je deze vorm krijgt. Dan is het gemakkelijker om de top van de parabool te vinden. Dit omschrijven van de formule noemen we kwadraatafsplitsen.

Hoe je met behulp van kwadraatsfplitsen de positie van de top van de parabool kunt bepalen leggen we je uit in deze theorie.

Methode

Hoe je een formule van de vorm y = ax² + bx + c om kunt schrijven naar een formule in de vorm y = a(x - p)² + q laten we zien aan de hand van een voorbeeld.

Neem bijvoorbeeld de formule y = x² + 4x + 3

In dit voorbeeld is a = 1, b = 4 en c = 3.

Voor kwadraatafsplitsen is er een algemeen trucje bedacht. Als je gaat kwadraat afsplitsen vul je deze formule in en werk deze vervolgens uit:

$$y = a\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left (\frac{b}{2}\right )^2 + c$$ .

$$y = \left(x + \frac{4}{2}\right)^2 - \left (\frac{4}{2}\right )^2 + 3 = (x + 2)^2 - 4 + 3 = (x + 2)^2 -1$$

Je kunt de coördinaten van de top van de parabool nu uit de formule aflezen. Er staat y = (x + 2)² - 1.

• Als een parabool de formule heeft in de vorm a(x - p)² + q dan is de top van de parabool op punt (p,q).
• Als een parabool de formule heeft in de vorm a(x + p)² + q dan staat er eigenlijk a(x - -p)² + q en is de top van de parabool (-p,q).
• Als een parabool de formule heeft in de vorm a(x + p)² - q dan staat er eigenlijk a(x - -p)^2-+ q en is de top van de parabool (-p,-q).

Let dus goed op de minnen en plussen in de formule!

De top in het voorbeeld heeft dus de coördinaten (-2,-1).

De formule die je gebruikt voor het kwadraatafsplitsen is een trucje om de formule om te schrijven. Je verandert de formule niet, je schrijft het alleen anders op. Als je de haakjes weer weg werkt, kom je op je oorspronkelijke formule uit:

y = (x + 2)² - 1
y = (x + 2)(x + 2) - 1
y = x² + 2x + 2x + 4 - 1
y = x² + 4x + 3

Zo kun je altijd checken of je geen foutjes hebt gemaakt bij het kwadraatafsplitsen.