Oplossen van kwadratische vergelijkingen met breuken

Uitdaging

Het oplossen van een kwadratische vergelijking met breuken is iets lastiger dan zonder breuken. Als je zo'n vergelijking wilt oplossen dan moet je namelijk als tussenstap de vergelijking vermenigvuldigen met een bepaald getal om de breuken weg te werken. Dat maakt de vergelijking vaak direct overzichtelijker.

In deze theorie leggen we je uit hoe dat werkt.

Methode

Volg altijd het stappenplan om een kwadratische vergelijking met breuken op te lossen.

Voorbeeld: los de vergelijking $$\frac{1}{2}(x - 2)(x + 1) = 9$$ op.

Stap 1: Werk eerst de haakjes weg.

$$\frac{1}{2} (x^{2} - x - 2) = 9$$

$$\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x - 1 = 9$$

Stap 2: Maak het rechter lid 0.

$$\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{2}x - 10 = 0$$

Stap 3: Nu gaan we de breuken wegwerken. Vermenigvuldig alle termen met 2 zodat er factor 1 voor $$x^2$$ staat.$$x^2 - x - 20 = 0$$

Stap 4: Ontbind in factoren.

(x - 5)(x + 4) = 0 (product-som methode)

Stap 5: Gebruik A · B = 0 geeft A = 0 ∨ B = 0 of x² = c

A · B = 0 geeft A = 0 ∨ B = 0, dus x - 5 = 0 ∨ x + 4 = 0, dus x = 5 ∨ x = -4

Let op! Als het rechterlid al gelijk staat aan 0 en er al factor 1 voor $$x^2$$ staat begin je bij stap 4. Bijvoorbeeld bij de vergelijking (x + 1)(x - 3) = 0 kun je direct zien dat x + 1 = 0 ∨ x - 3 = 0.

Dus dan weet je: x = -1 ∨ x = 3.