Herleiden van lastige wortelsommen

Uitdaging

Voor het rekenen met wortels bestaan de volgende rekenregels:

Optellen en aftrekken kan alleen met gelijksoortige wortels. Je volgt de regel: $$a\sqrt{x} + b\sqrt{x} = (a + b)\sqrt{x}$$. Voor het vermenigvuldigen van wortels geldt de regel $$\sqrt{a}$$ · $$\sqrt{b}$$ = $$\sqrt{ab}$$. Voor het delen van wortels geldt de regel $$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$ = $$\sqrt{\frac{a}{b}}$$.

Je kunt wortels ook herleiden. Hoe je alle soorten wortels kunt herleiden leggen we je hier uit.

Methode

Factor voor het wortelteken brengen:

$$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$ Als je een factor voor een wortelteken wilt brengen maak je gebruik van deze rekenregel, maar dan omgekeerd.

Neem bijvoorbeeld $$\sqrt{18}$$. Als je een factor voor de wortel wilt halen, begin je door alle mogelijkheden op te schrijven, waarmee je de wortel schrijft als een product van 2 wortels:

$$\sqrt{18} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{9}$$

$$\sqrt {18} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}$$

Je bent opzoek naar het product waarbij je één van beide wortels als een heel getal kunt schrijven, zoals $$\sqrt{4} = 2, \sqrt{9} = 3, \sqrt{25} = 5, \mbox{ enz.}$$

In dit geval kun je alleen $$\sqrt{9}$$ als een heel getal schrijven, dus je neemt:

$$\sqrt{18} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{9}$$

En dit ga je vervolgens korter opschrijven:

$$\sqrt{18} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{9} = \sqrt{2} \cdot 3 = 3\sqrt{2}$$

Wortel uit de noemer van een breuk wegwerken:

Bij het wegwerken van de wortel uit de noemer vermenigvuldig je zowel de noemer als de teller met de wortel.

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a · \sqrt{b}}{\sqrt{b} · \sqrt{b}} = \frac {a\sqrt{b}}{b}= \frac{a}{b}\sqrt{b}$$

Breuk onder het wortelteken wegwerken:

Bij het wegwerken van een breuk onder het wortelteken, maak je gebruik van de rekenregel voor het delen van wortels en de regel voor het wegwerken van een wortel uit de noemer van een breuk. Je krijgt: $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} · \sqrt{b}}{\sqrt{b} · \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b} = \frac{1}{b}{\sqrt{ab}}$$