De top van een parabool met parameter p
- Je kan de xtop en de ytop uitdrukken in p.
- $$x_ {top}= -\frac{b}{2a}$$
- Bereken de ytop door xtop in te vullen in de functie.
De uitleg is vrij te lezen. Oefenen kan met een Slimleren-lidmaatschap.
Theorie
Uitdaging
We kennen twee notaties voor een functie:
- De haakjesnotatie: f(x) = x2 - 3.
- De formule: y = x2 - 3.
De functie f(x) = x2 - 3 wordt een kwadratische functie genoemd. Als je de functie wil berekenen voor bijvoorbeeld x = 3, dan wordt het dus: f(3) =32 - 3.
Soms staan er in een functie meerdere onbekenden, bijvoorbeeld x en p. Je kan dan de xtop en de ytop uitdrukken in p.
Methode
P berekenen
Stel je hebt de functie: f(x) = -x2 + 8px + 5p.
De standaardformule voor de xtop is:
- $$x_ {top}= -\frac{b}{2a}$$
Je krijgt dan: $$x_{top} = -\frac{8p}{2 · -1} = -\frac{8p}{-2} = 4p $$
xtop = 4p
De ytop kunnen we bepalen:
- Bereken de ytop door xtop in te vullen in de functie.
f(4p) = -(4p)2 + 8p · 4p + 5p = -16p2 + 32p2 + 5p = 16p2 + 5p
De ytop = 16p2 + 5p
Vuistregels
- Je kan de xtop en de ytop uitdrukken in p.
- $$x_ {top}= -\frac{b}{2a}$$
- Bereken de ytop door xtop in te vullen in de functie.
Voorbeeldvraag
Leila leest in haar wiskundeboek een vraag met de functie: f (x) = -x2 + 4px + 2p.
Ze wilt weten voor welke p de ytop gelijk is aan 12.
Uitwerking
Je wil de ytop bepalen. Daarvoor moet je eerst de xtop bepalen en die vervolgens invullen als x in de functie.
Stap 1. Bepaal de toppen. f (x) = -x2 + 4px + 2p
$$x_{top} = -\frac{4p}{2 · -1} = -\frac{4p}{-2} = 2p$$
ytop = -(2p)2 + 4p · 2p + 2p = -4p2 + 8p2 + 2p = 4p2 + 2p
Stap 2. Leila wil weten wanneer de ytop gelijk is aan 12. Je moet dus de ytop gelijkstellen aan 12.
4p2 + 2p = 12
3. Om de vergelijking op te lossen, moet je deze gelijkstellen aan 0.
4p2 + 2p - 12 = 0
4. Deze vergelijking kan je nu oplossen met behulp van de ABC-formule.
4p2 + 2p - 12 = 0
D = b2 - 4 · a · c
D = 22 - 4 · 4 · -12 = 4 - -192 = 196
$$p=\frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{196}}{2 · 4} = \frac{-2 - 14}{8} = \frac{-16}{8} = -2$$
of $$p=\frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{196}}{2 · 4} = \frac{-2 + 14}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5 $$
Bij p = -2 of p = 1,5 als de ytop gelijk is aan 12.
Verder oefenen met Slimleren
Oefen De top van een parabool met parameter p en andere onderwerpen op jouw niveau. Je krijgt direct feedback en uitleg bij je antwoorden, zodat je weet wat je al kunt en wat nog aandacht vraagt.
Zo werkt Slimleren